El
valor absoluto de un número real cualquiera se refiere al valor de ese número
sin tomar en cuenta su signo. Para un número real cualquiera x su valor
absoluto se denota por
y
se define como:
Ejemplos: 1)
=11 ya que 11 > 0 2)
= 0 (cuando x = 0) 3)
= -(-4) ya que -4 < 0
Como el opuesto de un número
negativo es un número positivo de igual valor absoluto, tendremos:
= 5. Como puede verse, el valor absoluto
de un número real cualquiera es siempre un número no negativo.
Ejercicios
propuestos
1-
Simplifique y luego determine el valor absoluto de las siguientes expresiones:
|7 − 2|
–| –12 |
| 0 – 15 |
| 0(–4) |
2-
¿Cuál de los puntos representa el valor de |6 − 11| en la siguiente recta
numérica?
A) punto D
B) punto A
C) punto B
D) punto C
3- ¿Cuál de los
siguientes es el valor correcto de |6 − 9|?
A) -3
B) 3
C) 6
D) -6
INTERVALOS
Un intervalo, es un sub-conjunto de un conjunto
linealmente ordenado, si a, b,
k tal que x
k /a
b
Así entre los números
-1 y 1 existe un intervalo. Los símbolos de la desigualdad < y > tienen
una interpretación geométrica sobre la recta real.
Se observa que para dos
números reales a y b, con la condición de a < b o a > b o a = b que se le
da el nombre de tricotomía de los números reales.
Cuando hay una doble
desigualdad a
b, implica que x > b y x
b; significa, que x está
comprendida entre a y b, y que incluyen a b
pero excluyen a a. El
conjunto de todos los números reales x que satisfacen esta desigualdad se le
conoce como intervalo.
Tipos de
intervalos
Intervalo
cerrado
En este tipo de
intervalo sus extremos siempre forman
parte del conjunto al cual representa, es decir, comprende dentro de sus
extremos a y b, todos los números reales que son iguales o mayores que a, y los
iguales o menores que b.
Ejemplo: [a, b] = {x / a
x
b}
Intervalo
abierto
Se trata del intervalo donde sus extremos no forman parte del conjunto que está
representando. En este intervalo se representan todos los números reales
que son menores de b y mayores de a.
Ejemplo: (a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo mixto
También se puede conocer como intervalo
semicerrado o semiabierto. Se distingue porque uno de sus lados permanece cerrado mientras que el otro está abierto, los mismos pueden
ser el izquierdo o el derecho.
Los intervalos semiabierto
por la izquierda suelen comprender los números reales iguales o menores que
b, y los que son mayores que a. Se representa con la combinación de un corchete
cerrado con un paréntesis abierto.
Ejemplo: [a, b) = { x /
a £ x < b}
Los intervalos
semiabierto por la derecha contienen dentro de sus segmentos números reales
menores que b e iguales o mayores que a. Los intervalos se incluyen entre un
paréntesis abierto y un corchete cerrado. Ejemplo: (a, b]
= {x / a < x £ b}
Ejercicios Propuestos
I-Escriba los siguientes intervalos como
desigualdades y grafíquelos.
1)
[-5,4] 2)
[-2,6) 3) (
4)
[-5,
5) (-3,3]
6) (-1,9]
II-Escriba las siguientes desigualdades
como intervalos y haga su gráfico
1)
2)
3)
4)
EXPONENTES ENTEROS
Y RACIONALES
Representar
en forma abreviada la multiplicación de factores iguales se llama potenciación. Las
potencias son una forma de abreviar una sucesión de multiplicaciones de un
mismo número por sí mismo que se representa como xy, por
ejemplo: 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16
En particular x. x. x = x3,
en general, para cualquier número real x y para cualquier entero positivo n, el
símbolo
, que se lee como” x a la enésima
potencia”, representa el producto de n factores de x, así:
n
factores
xn=
x. x… x
Nota: es importante
distinguir
y
,
los paréntesis indican que el exponente 3 se aplica a 5x y no sólo a x.
|
|
En seguida,
tenemos varios casos que pueden deducirse de las leyes ya enunciadas:
1.-
División de potencias con igual base e igual exponente. Si aplicamos le segunda
ley, resulta que:
Cualquier
base diferente de cero cuyo exponente sea cero, será igual a uno.
2.-
Todo número elevado a la primera potencia es igual que ese mismo número
3.-
Mención especial merece el caso de la potenciación con exponente fraccionario. Una
base cualquiera elevada a un exponente fraccionario, será igual a extraer raíz
de la base elevada al numerador de la fracción, y el grado de la raíz será
igual al denominador de la fracción.
Ejemplo: Utilizando
las leyes de los exponentes simplifique la expresión
Ejercicios
propuestos
1- Resuelva las
potencias indicadas:
a) 2
4
b) (-2/3)
5
c) (-1)
-1
d) 5
0
e) (-9)
-2
f) (-9)
2
g) -
(-1) -1
h) (-2/-3)
5
2- Encuentre el
valor de la expresión si a = 2, b = -3 y c = -1.
a) a
-1 b -1 c -1
b) –
3ab + 2c 2
c) ab
2 + 4bc 2 + ca 2
d) ab
-1 + ca -1
3- Simplifique y
elimine cualquier exponente negativo:
No hay comentarios:
Publicar un comentario